Производственная функция. Примеры решения задач Тема III

Общий (совокупный) продукт (Total product , TP ) - это суммарный объем выпуска продукции, произведенный с использованием некоторого количества переменного фактора производства.

Общий продукт переменного фактора L может быть показан следующей производственной функцией, отражающая отношение между общим выпуском продукции и количеством фактора L , при постоянном количестве фактора K :

Q = f (L), при K - const

Предельный продукт (Marginal product , MP ) - величина, показывающая изменение объема выпуска продукции, в результате использования дополнительной единицы какого-либо фактора производства при неизменном количестве остальных.

MP L = Δ Q / Δ L

где ΔQ - изменение объема выпуска продукции; ΔL - изменение количества фактора L .

Средний продукт (Average product , AP ) - величина, показывающая количество объема продукции, приходящееся на единицу переменного фактора производства. Определяется путем деления объема выпускаемой продукции на количество используемого переменого фактора L :

AP L = Q / L

где Q - объем выпускаемой продукции; L - количество переменного фактора производства L .

Средний продукт характеризует производительность переменного фактора производства, поэтому очень часто средний продукт труда называют производительностью труда.

На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной - количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L . На кривых общего и предельного продукта окладываются три точки (A , B , C ) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.

На отрезке ОА происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка А иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.

На отрезке АС происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка В показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP = AP) .

Точка С иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MP L = 0). Так как после точки С предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.

30. Изокванта и изокоста. Равновесие производителя. Эффект масштаба

Изокванта продукта – это кривая, показывающая все сочетания факторов в пределах одного и того же объема производства. По этой причине ее часто называют линией равного выпуска.

Изокванты в производстве выполняют ту же функцию, что и кривые безразличия в потреблении, поэтому они подобны: на графике также имеют отрицательный наклон, обладают определенной пропорцией замещения факторов, не пересекаются между собой и чем дальше расположены от начала координат, тем больший результат производства отражают.

Рис. Изокванты продукта

Изокванта – результат взаимодействия факторов производства. Но в рыночной экономике нет бесплатных факторов. Следовательно, возможности производства не в последнюю очередь лимитируются финансовыми средствами предпринимателя. Роль бюджетной линии в этом случае выполняет изокоста.

Изокоста – линия, ограничивающая комбинацию ресурсов денежными расходами на производство, поэтому ее часто называют линией равных затрат. С ее помощью определяются бюджетные возможности производителя.

Бюджетные ограничения производителя можно рассчитать:

C = r + K + w + L,

где C– бюджетное ограничение производителя; r– цена услуг капитала (часовая арендная плата); K – капитал; w – цена услуг труда (часовая оплата труда); L– труд.

Рис. Изокоста и ее сдвиг

Эффект масштаба связан с изменением стоимости единицы продукции в зависимости от масштабов ее производства фирмой. Рассматривается в долгосрочном периоде. Снижение затрат на единицу продукции при укрупнении производства называется экономией на масштабе.

Элементов конструкций

Условия предельных состояний

В развернутом виде предельные неравенства имеют вид:

– для первой группы предельных состояний

g n åN i F ni γ fi y £ A (R yn /γ m )γ c ;

– для второй группы предельных состояний

g n åf i F ni y £ f u ,

где N i – усилие (нормальная сила, изгибающий момент, поперечная сила и т.п.) от единичной нагрузки F i = 1;

f i – перемещение от единичной нагрузки;

F n i – нормативная

А – геометрическая характеристика сечения (площадь, момент сопротивления и т.п.);

f u – предельное перемещение, допустимое по условиям нормальной эксплуатации.

Нормальная эксплуатация конструкции обеспечивается выполнением требований по ограничению перемещений и колебаний. К таким требованиям относят:

– технологические (обеспечение условий эксплуатации оборудования, контрольно-измерительных приборов и т.п.);

– конструктивные (обеспечение целостности примыкающих друг к другу элементов конструкций, их стыков, обеспечение заданных уклонов);

– физиологические (предотвращение вредных воздействий и ощущений дискомфорта при колебаниях);

– эстетико-психологические (предотвращение впечатления опасности, обеспечение благоприятных впечатлений от внешнего вида конструкций).

f u элементов конструкций от постоянных и временных длительных нагрузок определяются по СНиП «Нагрузки и воздействия». Для балок, прогонов и настилов покрытий и перекрытий, открытых для обзора, при пролете l предельные прогибы приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Вертикальные предельные прогибы f u

П р и м е ч а н и я: 1. Для промежуточных значений l предельные прогибы следует определять линейной интерполяцией.

2. Цифры, указанные в скобках, следует принимать при высоте от пола до низа несущих конструкций £ 6м.

Вертикальные предельные прогибы f u для балок крановых путей под мостовые и подвесные краны, управляемые:

с пола – l /250;

из кабины, при группах режимов работы по ГОСТ 25546-82):

от 1К до 6К – l /400; 7К – l /500; 8К – l /600.

Проектирование включает комплекс изыскательских, расчетных и конструкторских работ, направленных на создание оптимального объемно-планировочного и конструкторского решения здания или сооружения.

Проектирование зданий и сооружений осуществляется на основе проектного задания, выданного заказчиком. В проектном задании устанавливается техническая возможность и экономическая целесообразность предполагаемого строительства. С учетом функциональных требований и условий эксплуатации при строгом соблюдении строительных норм и правил разрабатывается компоновочное решение.

Проектирование выполняется в одну или две стадии:

– в одну стадию – рабочий проект (для технических несложных объектов, а также для объектов, строительство которых будет осуществляться по типовым или повторно применяемым проектам);

– в две стадии – проект и рабочая документация (для других объектов строительства, проектирование которых, как правило, осуществляется впервые).

На стадии проекта дается краткое описание и обоснование архитектурно-строительных решений, целесообразность применения металлических конструкций, определяется конструктивная схема здания и сооружения, а также подбираются соответствующие типовые конструкции. Разрабатываются основные чертежи: планы и разрезы со схематическим изображением несущих и ограждающих конструкций.

Рабочая документация металлических конструкций состоит из двух частей: рабочие чертежи КМ (конструкции металлические) и деталировочные чертежи КМД (конструкции металлические, деталировка).

Чертежи КМ выполняются проектной организацией на основе утвержденного проекта. На стадии КМ назначается схема здания (сооружения), производится полный расчет конструкций и подбор сечений всех элементов, выполняются общие чертежи и конструкции сложных узлов, а также идет согласование и увязка конструктивного решения с другими частями проекта (технологической, архитектурно-строительной, транспортной, санитарно-технической), составляется спецификация на металл.

В состав рабочих чертежей входят: пояснительная записка, данные о нагрузках, расчеты конструкций, общие компоновочные чертежи, схемы расположения конструкций и самостоятельных элементов в составе здания (сооружения) с таблицами сечений, расчеты и чертежи наиболее важных узлов и полная спецификация металла по профилям.

По чертежам КМ заказывается металл. На основе проекта стадии КМ конструкторскими бюро завода-изготовителя разрабатываются деталировочные чертежи КМД для отдельных элементов конструкций, отправляемых после изготовления заводом на строительную площадку (так называемые отправочные элементы или марки ), и узлов с учетом технических возможностей завода, а также монтажные схемы с соответствующей маркировкой отправочных элементов.

Рабочие чертежи отправочных элементов должны содержать все необходимые для их изготовления на заводе размеры и указания, спецификации деталей на каждый отправочный элемент, ведомости отправочных элементов, заводских сварных швов и болтов.

При разработке чертежей все размеры конструкций должны удовлетворять модульной системе и в них было применено максимальное число типовых конструкций и деталей. Конструкции должны быть технологичны, т.е. трудоемкость их изготовления и монтажа была минимальной

Монтажные схемы предназначены для сборки конструкций на монтаже и должны содержать сведения о взаимном расположении отправочных элементов с размерами и отметками, необходимыми для выверки конструкций.

Тема III. Теория поведения потребителя

Понятие полезности. Количественный и порядковый подходы к анализу полезности.

Количественный подход: общая и предельная полезность; I и II законы Госсена. Особенности потребительского выбора.

Порядковый подход: аксиомы потребительских предпочтений; кривые безразличия, их свойства и виды для различных категорий товаров; предельная норма замещения; бюджетное ограничение; равновесие потребителя.

Связь порядкового и количественного подходов.

Реакция потребителя на изменение цен и дохода: кривые “цена-потребление”, ”доход-потребление”, кривые Энгеля. Эффекты дохода и замещения – подходы Хикса и Слуцкого.

Полезность (Utility) – уровень удовлетворения, получаемый при потреблении благ.

Количественный [кардиналистский] подход к анализу полезности: потребитель способен поставить в соответствие каждому набору благ получаемый уровень полезности (абсолютная шкала измерения); полезность измеряется в условных единицах (ютилах).

Порядковый [ординалистский] подход к анализу полезности: потребитель способен упорядочить все наборы по уровню получаемой полезности; конкретное значение полезности, соответствующее потребительскому набору, не имеет значения (относительная шкала измерения); полезность не имеет единиц измерения.

Раздел 2.

Количественный подход

Функция полезности : U = F(Q A ,Q B , … ,Q Z)

U – уровень полезности, Q A ,Q B ,…,Q Z – объемы потребления в единицу времени благ A, B, … Z соответственно (потребительский набор).

Общая полезность : TU(Q) (Total Utility) – общий уровень полезности, получаемый при потреблении некоторого количества благa Q .

Предельная полезность : MU (Marginal Utility) – прирост полезности, получаемый от потребления дополнительной (последней) единицы блага.

для дискретно заданной функции TU(Q)

для непрерывной и дифференцируемой функции TU(Q)

для функции TU(Q A ,Q B)

Геометрически : MU(Q 0) = tg a 0

Предположения:

- потребитель располагает ограниченным доходом (I) , который весь расходует;

- потребитель рационален, т.е. стремится максимизировать полезность;

- цены благ (P) заданы и не зависят от количеств (Q) , потребляемых отдельным потребителем;

- блага бесконечно делимы.

I закон Госсена

Часть 1 (принцип убывающей предельной полезности):

При увеличении объема потребления блага полезность, получаемая от каждой дополнительной единицы этого блага (предельная полезность), снижается.

Принцип является одной из причин действия закона спроса: получая все меньшую и меньшую полезность от каждой дополнительной единицы блага, потребитель готов платить за нее все меньшую и меньшую цену.

Часть 2:

Полезность, получаемая от одной и той же единицы блага, снижается при каждом последующем акте потребления.

Равновесие [оптимум] потребителя – состояние, в котором потребитель тратит весь свой доход и получает максимальную полезность. Стремясь достичь состояния равновесия, потребитель оценивает не только получаемую полезность, но и цены благ.

II закон Госсена

(условие равновесия потребителя в количественной теории полезности)

Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, полезность, получаемая от расходов последней денежной единицы, одинакова, независимо от того, на какое из благ она была израсходована.

Замечание 1 :

l - предельная полезность денег. Показывает, какую полезность приносит потребителю дополнительная денежная единица, вложенная в любое из благ.

Замечание 2 : Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, отношение предельной полезности двух благ равно соотношению их цен.

Замечание 3 : При изменении в одинаковой пропорции дохода и цен на все товары потребительский выбор не изменится (т.к. не изменится условие бюджетного ограничения I = P 1 ×Q 1 + P 2 ×Q 2 ).

Q\;=\;f(L),\;при\;K\;-\;const.

MP_L\;=\;\frac{\Delta Q}{\Delta L},\;где

\Delta Q - изменение объема выпуска продукции;
\Delta L - изменение количества фактора L .

AP_L\;=\;\frac QL,\;где

Q - объем выпускаемой продукции;
L - количество переменного фактора производства L .

На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной - количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L . На кривых общего и предельного продукта окладываются три точки (A,\;B,\;C) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.

На отрезке 0A происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка A иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.

На отрезке AC происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка B показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP\;=\;AP) .

Точка C иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MP_L\;=\;0) . Так как после точки C предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.

Рассмотренная выше тенденция кривых общего и предельного продукта называется законом убывающей предельной производительности факторов производства.

Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Примечание . Задачу решаем с помощью калькулятора .

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:

Средняя производительность труда AY L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:

Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:

Предельную производительность труда , или предельный продукт труда, MY L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:

Эластичность продукта по фактору .
Коэффициентом эластичности продукта по i -фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i -фактора на 1%.
Эластичность по i -фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства .
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ:

AY λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства .
Предельную норму замещения i -фактора производства j -фактором M ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде : RST K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде : RST L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i -го фактора производства j -м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M LK L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M LK = 5 и M LK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Приведенный рисунок наглядно показывает, что движение вдоль линии изокванты возможно лишь при изменении технологии производства, которая сопровождается изменением фондовооруженности занятых в производстве.