Простейшая дробь 1 типа. Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид . Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как , то . Поэтому

Следовательно,

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Найти множество первообразных функции

Решение.

Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования .

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей второго типа

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Решение.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей третьего типа

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

Поэтому,

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

Используем полученную формулу:

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл

Решение.

Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):

После подстановки имеем:

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3 . Применяем рекуррентную формулу:

После обратной замены получаем результат:

Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам: Например, 2.Интегралы вида , где m или n – нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала. Например, 3.Интегралы вида , где m и n –четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени: Например, 4.Интегралы где вычисляются заменой переменной: или Например, 5.Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда (т.к. =[после деления числителя и знаменателя на ]= ; Например, Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам.

§5. Интегрирование простейших иррациональностей

Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей. 1. Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная. Пример. 2. (под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней: , то обозначают , где n – наименьшее общее кратное чиселm,k . Пример 1. Пример 2. –неправильная рациональная дробь, выделим целую часть: – – – 3.Интегралы вида вычисляются с помощью тригонометрических подстановок:

44

45 Определённый интеграл

Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция илифункционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).

Определение

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Обозначения

· - нижний предел.

· - верхний предел.

· - подынтегральная функция.

· - длина частичного отрезка.

· - интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .

· - максимальная длина част.отрезка.

Свойства

Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .

Теорема Ньютона - Лейбница

[править]

(перенаправлено с «Формула Ньютона-Лейбница»)

Формула Ньютона - Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Доказательство

Пусть на отрезке задана интегрируемая функция . Начнем с того, что отметим, что

то есть не имеет никакого значения, какая буква ( или ) стоит под знаком в определенном интеграле по отрезку .

Зададим произвольное значение и определим новую функцию . Она определена для всех значений , потому что мы знаем, что если существует интеграл от на , то существует также интеграл от на , где . Напомним, что мы считаем по определению

(1)

Заметим, что

Покажем, что непрерывна на отрезке . В самом деле, пусть ; тогда

и если , то

Таким образом, непрерывна на независимо от того, имеет или не имеет разрывы; важно, что интегрируема на .

На рисунке изображен график . Площадь переменной фигуры равна . Ее приращение равно площади фигуры , которая в силу ограниченности , очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва , например точкой .

Пусть теперь функция не только интегрируема на , но непрерывна в точке . Докажем, что тогда имеет в этой точке производную, равную

(2)

В самом деле, для указанной точки

(1) , (3)

Мы положили , а так как постоянная относительно ,TO . Далее, в силу непрерывности в точке для всякого можно указать такое , что для .

что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при .

Переход к пределу в (3) при показывает существование производной от в точке и справедливость равенства (2). При речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.

Если функция непрерывна на , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция

(4)

имеет производную, равную . Следовательно, функция есть первообразная для на .

Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.

Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.

Пусть теперь есть произвольная первообразная функции на . Мы знаем, что , где - некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получим .

Таким образом, . Но

Несобственный интеграл

[править]

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Определённый интеграл называется несобственным , если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .

[править]Несобственные интегралы I рода

. Тогда:

1. Если и интеграл называется . В этом случае называется сходящимся.

, или просто расходящимся.

Пусть определена и непрерывна на множестве от и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода . В этом случае называется сходящимся.

2. Если не существует конечного ( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

, где с - произвольное число.

[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

[править]Примеры

[править]Несобственные интегралы II рода

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется

называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и . Тогда:

1. Если , то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода . В этом случае интеграл называется сходящимся.

2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.

Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

[править]Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции

[править]Пример

[править]Отдельный случай

Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .

Тогда можно найти несобственный интеграл

[править]Критерий Коши

1. Пусть определена на множестве от и .

Тогда сходится

2. Пусть определена на и .

Тогда сходится

[править]Абсолютная сходимость

Интеграл называется абсолютно сходящимся , если сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

[править]Условная сходимость

Интеграл называется условно сходящимся , если сходится, а расходится.

48 12. Несобственные интегралы.

При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a ,b ]); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a ,b ]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными ; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными . В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.

• 12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).
• 12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Примеры.
• 12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
• 12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
• 12.1.3.1. Признак сравнения.
• 12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме.
• 12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
• 12.1.5. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
• 12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).
• 12.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.
• 12.2.1.1. Особенность на левом конце промежутка интегрирования.
• 12.2.1.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
• 12.2.1.3. Особенность на правом конце промежутка интегрирования.
• 12.2.1.4. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования.
• 12.2.1.5. Несколько особенностей на промежутке интегрирования.
• 12.2.2. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
• 12.2.2.1. Признак сравнения.
• 12.2.2.2. Признак сравнения в предельной форме.
• 12.2.3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций.
• 12.2.4. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.

12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

(несобственные интегралы первого рода).

12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку . Пусть функция f (x ) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ от, подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: .

12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций . В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
12.1.3.1. Признак сравнения . Пусть функции f (x ) и g (x ) интегр

Дробь называется правильной , если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Интеграл правильной рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Формула на интегрирование рациональных дробей зависит от корней многочлена в знаменателе. Если многочлен $ ax^2+bx+c $ имеет:

1. Только комплексные корни, то из него необходимо выделить полный квадрат: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{mx+n}{x^2 \pm a^2} $$
2. Различные действительные корни $ x_1 $ и $ x_2 $, то нужно выполнить разложение интеграла и найти неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{x-x_1} dx + \int \frac{B}{x-x_2} dx $$
3. Один кратный корень $ x_1 $, то выполняем разложение интеграла и находим неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $ для такой формулы: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{(x-x_1)^2}dx + \int \frac{B}{x-x_1} dx $$

Если дробь является неправильной , то есть старшая степень в числителе больше либо равна старшей степени знаменателя, то сначала её нужно привести к правильному виду путём деления многочлена из числителя на многочлен из знаменателя. В данном случае формула интегрирования рациональной дроби имеет вид:

$$ \int \frac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx = \int Q(x) dx + \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$

Примеры решений

Материал, изложенный в этой теме, опирается на сведения, представленные в теме "Рациональные дроби. Разложение рациональных дробей на элементарные (простейшие) дроби" . Очень советую хотя бы бегло просмотреть эту тему перед тем, как переходить к чтению данного материала. Кроме того, нам будет нужна таблица неопределенных интегралов .

Напомню пару терминов. О их шла речь в соответствующей теме , посему тут ограничусь краткой формулировкой.

Отношение двух многочленов $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ называется рациональной функцией или рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной , если $n < m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется неправильной .

Элементарными (простейшими) рациональными дробями именуют рациональные дроби четырёх типов:

1. $\frac{A}{x-a}$;
2. $\frac{A}{(x-a)^n}$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ ($p^2-4q < 0$);
4. $\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}$ ($p^2-4q < 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть

Зачем нужно условие $p^2-4q < 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например, для выражения $x^2+5x+10$ получим: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Так как $p^2-4q=-15 < 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Кстати сказать, для этой проверки вовсе не обязательно, чтобы коэффициент перед $x^2$ равнялся 1. Например, для $5x^2+7x-3=0$ получим: $D=7^2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Так как $D > 0$, то выражение $5x^2+7x-3$ разложимо на множители.

Примеры рациональных дробей (правильных и неправильных), а также примеры разложения рациональной дроби на элементарные можно найти . Здесь нас будут интересовать лишь вопросы их интегрирования. Начнём с интегрирования элементарных дробей. Итак, каждый из четырёх типов указанных выше элементарных дробей несложно проинтегрировать, используя формулы, указанные ниже. Напомню, что при интегрировании дробей типа (2) и (4) предполагается $n=2,3,4,\ldots$. Формулы (3) и (4) требуют выполнение условия $p^2-4q < 0$.

\begin{equation} \int \frac{A}{x-a} dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end{equation} \begin{equation} \int\frac{A}{(x-a)^n}dx=-\frac{A}{(n-1)(x-a)^{n-1}}+C \end{equation} \begin{equation} \int \frac{Mx+N}{x^2+px+q} dx= \frac{M}{2}\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac{2N-Mp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C \end{equation}

Для $\int\frac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx$ делается замена $t=x+\frac{p}{2}$, после полученный интерал разбивается на два. Первый будет вычисляться с помощью внесения под знак дифференциала, а второй будет иметь вид $I_n=\int\frac{dt}{(t^2+a^2)^n}$. Этот интеграл берётся с помощью рекуррентного соотношения

\begin{equation} I_{n+1}=\frac{1}{2na^2}\frac{t}{(t^2+a^2)^n}+\frac{2n-1}{2na^2}I_n, \; n\in N \end{equation}

Вычисление такого интеграла разобрано в примере №7 (см. третью часть).

Схема вычисления интегралов от рациональных функций (рациональных дробей):

1. Если подынтегральная дробь является элементарной, то применить формулы (1)-(4).
2. Если подынтегральная дробь не является элементарной, то представить её в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать, используя формулы (1)-(4).

Указанный выше алгоритм интегрирования рациональных дробей имеет неоспоримое достоинство - он универсален. Т.е. пользуясь этим алгоритмом можно проинтегрировать любую рациональную дробь. Именно поэтому почти все замены переменных в неопределённом интеграле (подстановки Эйлера, Чебышева, универсальная тригонометрическая подстановка) делаются с таким расчётом, чтобы после оной замены получить под интералом рациональную дробь. А к ней уже применить алгоритм. Непосредственное применение этого алгоритма разберём на примерах, предварительно сделав небольшое примечание.

$$ \int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C. $$

В принципе, этот интеграл несложно получить без механического применения формулы . Если вынести константу $7$ за знак интеграла и учесть, что $dx=d(x+9)$, то получим:

$$ \int\frac{7dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{dx}{x+9}=7\cdot \int\frac{d(x+9)}{x+9}=|u=x+9|=7\cdot\int\frac{du}{u}=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Для детальной информации рекомедую посмотреть тему . Там подробно поясняется, как решаются подобные интегралы. Кстати, формула доказывается теми же преобразованиями, что были применены в этом пункте при решении "вручную".

2) Вновь есть два пути: применить готовую формулу или обойтись без неё. Если применять формулу , то следует учесть, что коэффициент перед $x$ (число 4) придется убрать. Для этого оную четвёрку просто вынесем за скобки:

$$ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=\int\frac{11dx}{\left(4\left(x+\frac{19}{4}\right)\right)^8}= \int\frac{11dx}{4^8\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=\int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}. $$

Теперь настал черёд и для применения формулы :

$$ \int\frac{\frac{11}{4^8}dx}{\left(x+\frac{19}{4}\right)^8}=-\frac{\frac{11}{4^8}}{(8-1)\left(x+\frac{19}{4} \right)^{8-1}}+C= -\frac{\frac{11}{4^8}}{7\left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C=-\frac{11}{7\cdot 4^8 \left(x+\frac{19}{4} \right)^7}+C. $$

Можно обойтись и без применения формулы . И даже без вынесения константы $4$ за скобки. Если учесть, что $dx=\frac{1}{4}d(4x+19)$, то получим:

$$ \int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=11\int\frac{dx}{(4x+19)^8}=\frac{11}{4}\int\frac{d(4x+19)}{(4x+19)^8}=|u=4x+19|=\\ =\frac{11}{4}\int\frac{du}{u^8}=\frac{11}{4}\int u^{-8}\;du=\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-8+1}}{-8+1}+C=\\ =\frac{11}{4}\cdot\frac{u^{-7}}{-7}+C=-\frac{11}{28}\cdot\frac{1}{u^7}+C=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C. $$

Подробные пояснения по нахождению подобных интегралов даны в теме "Интегрирование подстановкой (внесение под знак дифференциала)" .

3) Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{4x+7}{x^2+10x+34}$. Эта дробь имеет структуру $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$, где $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Однако чтобы убедиться, что это действительно элементарная дробь третьего типа, нужно проверить выполнение условия $p^2-4q < 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx = \frac{4}{2}\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{2\cdot 7-4\cdot 10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{4\cdot 34-10^2}}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{\sqrt{36}} \arctg\frac{2x+10}{\sqrt{36}}+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac{-26}{6} \arctg\frac{2x+10}{6}+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x+34)-\frac{13}{3} \arctg\frac{x+5}{3}+C. $$

Решим этот же пример, но без использования готовой формулы. Попробуем выделить в числителе производную знаменателя. Что это означает? Мы знаем, что $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Именно выражение $2x+10$ нам и предстоит вычленить в числителе. Пока что числитель содержит лишь $4x+7$, но это ненадолго. Применим к числителю такое преобразование:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10)-13. $$

Теперь в числителе появилось требуемое выражение $2x+10$. И наш интеграл можно переписать в таком виде:

$$ \int\frac{4x+7}{x^2+10x+34} dx= \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx. $$

Разобьём подынтегральную дробь на две. Ну и, соответственно, сам интеграл тоже "раздвоим":

$$ \int\frac{2\cdot(2x+10)-13}{x^2+10x+34}dx=\int \left(\frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}-\frac{13}{x^2+10x+34} \right)\; dx=\\ =\int \frac{2\cdot(2x+10)}{x^2+10x+34}dx-\int\frac{13dx}{x^2+10x+34}=2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34}. $$

Поговорим сперва про первый интеграл, т.е. про $\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}$. Так как $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, то в числителе подынтегральной дроби расположен дифференциал знаменателя. Короче говоря, вместо выражения $(2x+10)dx$ запишем $d(x^2+10x+34)$.

Теперь скажем пару слов и о втором интеграле. Выделим в знаменателе полный квадрат: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Кроме того, учтём $dx=d(x+5)$. Теперь полученную нами ранее сумму интегралов можно переписать в несколько ином виде:

$$ 2\cdot\int \frac{(2x+10)dx}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{dx}{x^2+10x+34} =2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9}. $$

Если в первом интеграле сделать замену $u=x^2+10x+34$, то он примет вид $\int\frac{du}{u}$ и возьмётся простым применением второй формулы из . Что же касается второго интеграла, то для него осуществима замена $u=x+5$, после которой он примет вид $\int\frac{du}{u^2+9}$. Это чистейшей воды одиннадцатая формула из таблицы неопределенных интегралов . Итак, возвращаясь к сумме интегралов, будем иметь:

$$ 2\cdot\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}-13\cdot\int\frac{d(x+5)}{(x+5)^2+9} =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C. $$

Мы получили тот же ответ, что и при применении формулы , что, собственно говоря, неудивительно. Вообще, формула доказывается теми же методами, кои мы применяли для нахождения данного интеграла. Полагаю, что у внимательного читателя тут может возникнуть один вопрос, посему сформулирую его:

Вопрос №1

Если к интегралу $\int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}$ применять вторую формулу из таблицы неопределенных интегралов , то мы получим следующее:

$$ \int \frac{d(x^2+10x+34)}{x^2+10x+34}=|u=x^2+10x+34|=\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Почему же в решении отсутствовал модуль?

Ответ на вопрос №1

Вопрос совершенно закономерный. Модуль отсутствовал лишь потому, что выражение $x^2+10x+34$ при любом $x\in R$ больше нуля. Это совершенно несложно показать несколькими путями. Например, так как $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, то $(x+5)^2+9 > 0$. Можно рассудить и по-иному, не привлекая выделение полного квадрата. Так как $10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то $x^2+10x+34 > 0$ при любом $x\in R$ (если эта логическая цепочка вызывает удивление, советую посмотреть графический метод решения квадратных неравенств). В любом случае, так как $x^2+10x+34 > 0$, то $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. вместо модуля можно использовать обычные скобки.

Все пункты примера №1 решены, осталось лишь записать ответ.

Ответ :

1. $\int\frac{7dx}{x+9}=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac{11dx}{(4x+19)^8}=-\frac{11}{28(4x+19)^7}+C$;
3. $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac{13}{3}\arctg\frac{x+5}{3}+C$.

Пример №2

Найти интеграл $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$.

На первый взгляд подынтегральая дробь $\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ очень похожа на элементарную дробь третьего типа, т.е. на $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$. Кажется, что единcтвенное отличие - это коэффициент $3$ перед $x^2$, но ведь коэффициент и убрать недолго (за скобки вынести). Однако это сходство кажущееся. Для дроби $\frac{Mx+N}{x^2+px+q}$ обязательным является условие $p^2-4q < 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

У нас коэффициент перед $x^2$ не равен единице, посему проверить условие $p^2-4q < 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D > 0$, посему выражение $3x^2-5x-2$ можно разложить на множители. А это означает, что дробь $\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}$ не является элементаной дробью третьего типа, и применять к интегралу $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx$ формулу нельзя.

Ну что же, если заданная рациональная дробь не является элементарной, то её нужно представить в виде суммы элементарных дробей, а затем проинтегрировать. Короче говоря, след воспользоваться . Как разложить рациональную дробь на элементарные подробно написано . Начнём с того, что разложим на множители знаменатель:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin{aligned} & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac{-(-5)-\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5-7}{6}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3};\\ & x_2=\frac{-(-5)+\sqrt{49}}{2\cdot 3}=\frac{5+7}{6}=\frac{12}{6}=2.\\ \end{aligned}\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\cdot (x-2)=3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2). $$

Подынтеральную дробь представим в таком виде:

$$ \frac{7x+12}{3x^2-5x-2}=\frac{7x+12}{3\cdot\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}. $$

Теперь разложим дробь $\frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}$ на элементарные:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)} =\frac{A}{x+\frac{1}{3}}+\frac{B}{x-2}=\frac{A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right)}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)};\\ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right). $$

Чтобы найти коэффициенты $A$ и $B$ есть два стандартных пути: метод неопределённых коэффициентов и метод подстановки частных значений. Применим метод подстановки частных значений, подставляя $x=2$, а затем $x=-\frac{1}{3}$:

$$ \frac{7}{3}x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac{1}{3}\right).\\ x=2;\; \frac{7}{3}\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac{1}{3}\right); \; \frac{26}{3}=\frac{7}{3}B;\; B=\frac{26}{7}.\\ x=-\frac{1}{3};\; \frac{7}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3} \right)+4=A\left(-\frac{1}{3}-2\right)+B\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right); \; \frac{29}{9}=-\frac{7}{3}A;\; A=-\frac{29\cdot 3}{9\cdot 7}=-\frac{29}{21}.\\ $$

Так как коэффициенты найдены, осталось лишь записать готовое разложение:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=\frac{-\frac{29}{21}}{x+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{26}{7}}{x-2}. $$

В принципе, можно такую запись оставить, но мне по душе более аккуратный вариант:

$$ \frac{\frac{7}{3}x+4}{\left(x+\frac{1}{3}\right)(x-2)}=-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}. $$

Возвращаясь к исходному интегралу, подставим в него полученное разложение. Затем разобьём интеграл на два, и к каждому применим формулу . Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$ \int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx=\\ =\int\left(-\frac{29}{21}\cdot\frac{1}{x+\frac{1}{3}}\right)dx+\int\left(\frac{26}{7}\cdot\frac{1}{x-2}\right)dx =-\frac{29}{21}\cdot\int\frac{dx}{x+\frac{1}{3}}+\frac{26}{7}\cdot\int\frac{dx}{x-2}dx=\\ =-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C. $$

Ответ : $\int\frac{7x+12}{3x^2-5x-2}dx=-\frac{29}{21}\cdot\ln\left|x+\frac{1}{3}\right|+\frac{26}{7}\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример №3

Найти интеграл $\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx$.

Нам нужно проинтегрировать дробь $\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}$. В числителе расположен многочлен второй степени, а в знаменателе - многочлен третьей степени. Так как степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, т.е. $2 < 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}=-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9}. $$

Нам останется только разбить заданный интеграл на три, и к каждому применить формулу . Константы я предпочитаю сразу выносить за знак интеграла:

$$ \int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=\int\left(-\frac{3}{x-1}+\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-9} \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac{dx}{x-1}+ 5\cdot\int\frac{dx}{x+4}-\int\frac{dx}{x-9}=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C. $$

Ответ : $\int\frac{x^2-38x+157}{(x-1)(x+4)(x-9)}dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x-9|+C$.

Продолжение разбора примеров этой темы расположено во второй части.

Все вышеизложенное в предыдущих пунктах позволяет нам сформулировать основные правила интегрирования рациональной дроби.

1. Если рациональная дробь неправильна, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. п. 2).

Этим самым интегрирование неправильной рациональной дроби сводят к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.

3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым интегрирование правильной рациональной дроби сводят к интегрированию простейших дробей.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Найти .

Решение. Под интегралом стоит неправильная рациональная дробь. Выделяя целую часть, получим

Следовательно,

Замечая, что , разложим правильную рациональную дробь

на простейшие дроби:

(см. формулу (18)). Поэтому

Таким образом, окончательно имеем

Пример 2. Найти

Решение. Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая ее на простейшие дроби (см. формулу (16)), получим

Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.

Пример.

Решение.

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен:

Поэтому, .

Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид. Следовательно,

Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

Так как , то. Поэтому

Следовательно,

Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

Интегрирование простейших дробей первого типа

Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Решение.

Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей второго типа

Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:

Пример.

Решение.

К началу страницы

Интегрирование простейших дробей третьего типа

Для начала представляем неопределенный интеграл в виде суммы:

Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала:

Поэтому,

У полученного интеграла преобразуем знаменатель:

Следовательно,

Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл .

Решение.

Используем полученную формулу:

Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили:

9. Интегрирование простейших дробей четвертого типа

Первый шаг – подводим под знак дифференциала:

Второй шаг – нахождение интеграла вида . Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите разделинтегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:

Пример.

Найдите неопределенный интеграл

Решение.

Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций):

После подстановки имеем:

Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3 . Применяем рекуррентную формулу:

После обратной замены получаем результат:

10. Интегрирование тригонометрических функций.

Множество задач сводится к нахождению интегралов трансцендентных функций, содержащих тригонометрические функции. В данной статье сгруппируем наиболее часто встречающиеся виды подынтегральных функций и на примерах рассмотрим методы их интегрирования.

Начнем с интегрирования синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Из таблицы первообразных сразу заметим, что и.

Метод подведения под знак дифференциалапозволяет вычислить неопределенные интегралы функций тангенса и котангенса:

К началу страницы

Разберем первый случай, второй абсолютно аналогичен.

Воспользуемся методом подстановки:

Пришли к задаче интегрирования иррациональной функции. Здесь нам также поможет метод подстановки:

Осталось провести обратную замену иt = sinx :

К началу страницы

Подробно о принципах их нахождении можете ознакомиться в разделеинтегрирование с использованием рекуррентных формул. Если изучите вывод этих формул, то без особого труда сможете брать интегралы вида, гдеm и n – натуральные числа.

К началу страницы

К началу страницы

Максимум творчества приходится вкладывать, когда подынтегральная функция содержит тригонометрические функции с различными аргументами.

Здесь на помощь приходят основные формулы тригонометрии. Так что выписывайте их на отдельный листочек и держите перед глазами.

Пример.

Найти множество первообразных функции .

Решение.

Формулы понижения степени дают и.

Поэтому

Знаменатель представляет собой формулу синуса суммы, следовательно,

Приходим к сумме трех интегралов.

К началу страницы

Подынтегральные выражения, содержащие тригонометрические функции, иногда можно свести к дробно рациональным выражениям, используя стандартную тригонометрическую подстановку.

Выпишем тригонометрические формулы, выражающие синус, косинус, тангенс через тангенс половинного аргумента:

При интегрировании нам также понадобится выражение дифференциала dx через тангенс половинного угла.

Так как , то

То есть, , где.

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Применим стандартную тригонометрическую подстановку:

Таким образом, .

Разложение на простейшие дробиподынтегральной функции приводит нас к сумме двух интегралов:

Осталось провести обратную замену :

11. Рекуррентные формулы – это формулы, выражающие n -ый член последовательности через предыдущие члены. При нахождении интегралов они не редко используются.

Мы не ставим целью перечислить все рекуррентные формулы, а хотим дать принцип их получения. Вывод этих формул основан на преобразовании подынтегральной функции и применении метода интегрирования по частям.

К примеру, неопределенный интеграл можно взять, используя рекуррентную формулу.

Вывод формулы :

Используя формулы тригонометрии, можно записать:

Полученный интеграл найдем методом интегрирования по частям. В качестве функции u(x) возьмем cosx , следовательно, .

Поэтому,

Возвращаемся к исходному интегралу:

То есть,

Что и требовалось показать.

Аналогично выводятся следующие рекуррентные формулы:

Пример.

Найти неопределенный интеграл .

Решение.

Используем рекуррентную формулу из четвертого пункта (в нашем примере n = 3 ):

Так как из таблицы первообразных имеем , то